Z histórie numerácie

text spracovali Ivan Benďák, Adriana Ľoncová, Monika Pástorová a Lucia Štutíková


Na tejto stránke sa nachádza výber zo slovenských knižných zdrojov, ktoré sa venujú numerácii z historického hľadiska. Zachytený je vývoj numerácie v rôznych kultúrach so zdôraznením najdôležitejších objavov - zoskupovania, pozície a nuly.


Ak hovoríme o niečom veľmi jednoduchom, často povieme: Je to jasné, ako že dvakrát dva sú štyri! A predsa, skôr ako ľudstvo prišlo k danému záveru, muselo sa učiť mnohé tisícročia. Pri takomto učení však nesedeli v laviciach. Ako to teda bolo?

PRAVEK

Ľudia sa začali učiť počítať už v pradávnych dobách a učiteľom im bol život. Potreba rátať a neskôr riešiť matematické úlohy vznikla z požiadaviek všedného dňa. Korisť z lovu, žatva, prehľad o stádach dobytka, zhotovovanie nástrojov, primitívny výmenný obchod, orientovanie sa v priestore a čase - to všetko si vyžadovalo určitý poriadok a tým aj vyjadrenie množstva a veľkosti. Ľudia si pomáhali ako mohli. Keď obyvatelia zabili zviera, urobili vrúbok na lovecký kyjak. Keď sa vrúbky hromadili a lovci strácali prehľad, každý desiaty vrúbok predĺžili, vytvárali skupiny. Najstarší zachovaný predmet bol nájdený v Dolných Veštoniciach na Morave v roku 1937. Je to 18 cm dlhá stehenná kosť vlka, do ktorej je vyrytých 55 zárezov - 25 a 30 zárezov združených po päť. Zápis je starý 30 000 rokov. Počet domácich zvierat sa označoval a kontroloval kameňmi, alebo podobnými pomôckami. Jeden kameň zodpovedal jednému zvieraťu v čriede. Keď zviera zahynulo, odobrali jeden kameň. Pri každom získaní nového kusa kameň priložili. Okrem kameňov, paličiek, mušlí, čiarok a iných predmetov pomocou ktorých sa dali uskutočniť aj jednoduché počtové úkony, pri znázorňovaní rátania nadobudli dôležitý význam miery ľudských končatín. Medzi týmito číslami mali zvlášzne postavenie prsty na rukách, ktoré sa priam ponúkali na rátanie a spočiatku postačovali na znázornenie potrebných čísel. (Malé deti ešte aj teraz demonštrujú tento vývojový stupeň, mimovoľne pri rátaní vystieraju prsty. Výraz “ spočítať” na prstoch jednej rukky sa nie náhodou stal okrídleným.)

Hlavným zdrojom obživy vtedajších ľudí bol lov. Veľkého bizóna musel loviť celý kmeň. Aby zviera neušlo, museli ho obklúčiť. Ak chcel vodca poslať päť ľudí z prava, sedem zozadu a štyroch zľava, bez pčítania sa nezaobišiel. Túto úlohu musel zvládnuť. Veď v čase, keď človek ešte nepoznal také slová ako sú päť, sedem, mohol vyjadrovať počty pomocou prstov. Namiesto číslovky päť hovorili ruka, desať ako dve ruky a dvadsať bol celý človek, pretože sa prirátali aj prsty a nohách.

Ľudia nepočítali iba svoj majetok, ale aj dni. Je zrejmé, že všetky hlavné časové miery - deň, mesiac a rok vypozorovali z prírodných dejov. Spozorovali, že od splnu po spln uplynie takmer celých 30 dní. Tak objavili časovú mieru mesiac. Mesiac začali deliť na 4 diely, vznikali dnešné týždne. Prsty už nestačili.. Uvažovali, že by mohli urobiť zárezy na paličke každý deň a potom počítať všetky zárezy. Tak sa objavil na Zemi prvý záznam prežitých dní. Len nebol zapísaný perom, ale vyrúbaný sekerou. podobný drevený kalendár používal aj Robinson Crusoe. Po každých tridsiatich dňoch, po každom nove urobil na svojom kalendári ďalší zárez. Tak zaznamenal mesiac a rok.

Je zaujímavé, že zárezy sa používali na počítanie ešte aj pred 150 rokmi. Zapisovali sa na ne dane a dlhy, ktoré mal platiť sedliak vrchnosti.. Sedliaci boli väčšinou negramotní a tak si na zvláštnej paličke zaznamenávali toľko zárezov, koľko vriec zrna vzal od neho vyberač daní. Potom sa palica pozdĺž rozdelila medzi sedliaka a vyberača daní. Tento účtovný doklad sa nazýval rováš. Čisla sa namiesto vrubov na paličke zaznamenávali aj uzlami na špagáte najmä u Indiánov Južnej Ameriky. Tieto spôsoby zaznamenávania boli dobré len dovtedy, pokiaľ zapisované číslo nebolo veľké - najviac stovka. Ale čo s tisícmi?

STAROVEK

Pred päťtisíc rokmi sa takmer súčasne v rôznych krajinách - v Mezopotámii, Egypte, Čine - rodil nový spôsob číselného záznamu. Ľudia prišli na to, že čísla sa dajú vyjadriť aj inak, nielen zárezmi, ale že sa dá efektívne využiť aj zoskupovanie: osobitný symbol pre jednotky, desiatky, stovky. Tento objav bol veľmi dôležitý. Práca s číslami sa ohromne uľahčila. Starí Egypťania, tak ako dnes my, počítali po desiatkach. Špeciálne číselné znaky mali len pre rády. Táto dômyselná sústava zjednodušených obrázkov , hieroglyfov, z ktorých každý vyjadroval celé slovo bola zložitá. Pre písanie číslic neexistovali zvláštne znaky. Slová jeden, päť, tisíc a iné číslice sa zobrazovali hieroglyfmi ako iné slová. Tento spôsob sa okrem Egypta používal i v Čine.

Číselných hieroglyfov bolo pomerne málo. Číslice jedna až deväť boli v Egypte ako aj inde označované prehľadne zoskupenými čiarkami.

Značka pre desiatku sa podobá podkove (pozri obrázok), ale tá s desiatkou nemá nič spoločné. Mnohí vedci sa domnievajú, že symbolizuje dve paže - teda 10 prstov. Stovka je obraz meračškého pásma, ktorý bol 100 stôp dlhý. Brehy, zátočiny i delta rieky Níl bola pokrytá mnohými lotosovými kvetmi a preto bol lotosový kvet vybraný pre znak čísla 1000. Hieroglyf pre 10 000 podľa novších výskumov znázorňuje steblo šachorovitej rastliny veľmi rozšírenej najmä v nílskej úžine. Žaba, ktorá je tiež typická pre oblasť Nílu sa stala znakom pre číslo 100 000. A napokon hieroglyf pre 1000 000 zobrazoval egyptského boha Hela, ktrý podľa legendy nesie nebeskú klenbu. Jednotlivé hieroglyfy pripúšťajú rôzne výklady. Ale tí, čo ich interpretujú sa zhodujú v tom, že znaky neboli nijakými výtvormi fantázie, ale reprodukciami vecí a javov života. Egypťania písali symboly rovnakého rádu vedľa seba a bezprostredne za nimi nasledovali symboly najbližšieho nižšieho rádu. V Egypte však našlo o pozičnú sústavu, to znamená, ža nezáležalo na poradí jednotlivých znakov. Hodnoty jednotlivých symbolov sa jednoducho sčítali; hovoríme tomu aditívny princíp. Neskôr sa však ukázalo, ža pre praktický denný život sa hieroglyfycké písmo nehodí. Hieroglyfiy sa na papyrusoch postupne zjednodušovali a nastupovalo písmo hieratické, v ktorom by málokto poznal pôvodné znaky.

egypt.gif (3527 bytes)

Pri skúmaní tajomstiev hieroglyfyckého písma sa do záujmového poľa vedy dostala ďalšia oblasť - Turkami ovládané územie medzi riekami Eufrat a Tigris, dávno zabudnutá a povesťami opradená BABYLÓNIA. Keď títo obyvatelia poznali písmo, mali problém so zhotovením vhodného materiálu, na ktorý by mohli písať. V zemi bol nedostatok dreva, kameňa, na brehoch riek nerástol ani papyrus. A preto Babylončania písali zaostreným rydlom do hlinových doštičiek, ktoré potom sušili a vypaľovali. ( H. A M. Honzíkovi: Dobrodružství čísel, str. 17). Písmenové znaky sa podľa klinového tvaru volali klinovým písmom. Babylonská matematika bola na veľmi vysokej úrovni. Rátanie a počty zaznamenali v tejto asi 2500 - ročnej epoche bohatej na udalosi súvislý rozvoj podmienený potrebami a s nimi sa rozvíjali aj klinové znaky čísel. Klinové znaky však neboli pôvodnými znakmi čísel. Predchádzali im polookrúhle a okrúhle znaky, ktoré sa šikmo, alebo kolmo držaným rydlom vtláčali do mäkkej hliny. Používali len dve cifry. Zvislý klin znamenal jednu jednotku, vodorovný klin desiatku. V Mezopotámii počítali nielen po desiatkach, ale aj po šesťdesiatkach. Matematik by povedal, že ich sústava bola na rozdiel od našej desiatkovej - šesťdesiatková. Tak napríklad číslo 137 si babylonský vedec vyjadril ako dve šesťdesiatky plus 17 jednotiek. Je zaujímavé, že babylonskú numeráciu používame v niektorých prípadoch doteraz. Napokon, kde je dôvod, prečo nača hodina má 60 minút a minúta 60 sekúnd? To je naozaj dedičštvo po Babylončanoch! Ani mezopotámsky spôsob zápisu však nevyhovoval. Pri zázname dvoma znakmi sa muselo vyhovieť napríjemnej povinnosti - používať veľké množstvo klinov.

U Babylončanov sa pri číslach do 59 uplatňoval aditívny princíp, no pri číslach väčších ako 59 sa prvýkrát uplatňuje pozícia tak, ako ju dobre poznáme z našej sústavy. Každá pozícia bola však mocninou čísla 60. Pri zapisovaní čísel nepoznali číslicu nula, čo bolo ďalšou nevýhodou babylonskej sústavy.

babylon.gif (2866 bytes)

Veľmi zaujímavú číselnú sústavu mal stredoamerický národ MAYOV, žijúcich pred dvetisíc rokmi na poloostorve Iucaton na juhu dnešného Mexika. V tom čase bola indiánska kultúra Mayov podstatne vyššia ako európskych národov. Mayovia počítali po dvadsiatkach - mali dvadsiatkovú číselnú sústavu (H. Glade: Na začiatku bol abakus, str. 37). U Mayov sa dvadsiatka dotýka istej zvláštnosti. Mayovia pôvodne rátali pomocou prstov na rukách a nohách, ich "telové" čísla siahali teda do 20. Bodky a čiarky im slúžili na vyjadrovanie čísel od jeden do dvadsať. Jedna bodka = 1, dve bodky = 2, to pokračovalo po číslo 5, ktoré bolo znázornené vodorovnou čiarkou. Kombinácia vodorovnej čiarky a bodiek sa používala po číslo 20. Zápis čísel bol v smere vertikálnom. Ak bol pod číslom nakreslený zvláštny znak tvaru lastúry, hodnota pôvodného čísla sa zdvadsaťnásobila. Tým sa získali nie jednotky, ale dvadsiatky - teda jednotky vyššieho rádu. Čísla nekončiace sa nulou neobsahovali pomocný dvadsiatkový znak; len medzera medzi číslami sa zväčšila.

Ak bola lastúra v nákrese dvakrát, tak to znamenalo, že zapísaný číselný znak má 18.20 krát väčšiu hodnotu. Ak bola trikrát, hodnota sa násobila 18.202 atď. Obraz lastúry hral teda u Mayov rovnakú úlohu ako má číslica nula v desiatkovej sústave.

mayovia.gif (4261 bytes)

ČÍŇAŇIA, podobne ako Egypťania, používali desiatkové číselné sústavy. Hieroglyfy, ktoré jestvovali v Číne ešte stále jestvujú. Používajú sa pri arabských čísliciach a latinských písmenách na čínskych a japonských známkach ako výraz východoázijského dodržiavania tradícií, ako pozostatok z raného obdobia rátania a počtárstva. S jednou výnimkou - nech čínske hieroglyfy boli viac či menej vhodné na vyjadrenie čísel, na počítanie sa nepouživali. Na to slúžili iné, povrazce z čiarok a kombinácii čiarok sformované symboly čísel, ktoré sa zachovali od 14. stor. p.n.l. na magických kockách, bronzových nádobách, domácom náčiní a iných predmetoch. Ešte pred začiatkom nášho letopočtu sa potom presadili tzv. paličkové a bambusové číslice, ktoré oproti dovtedajšiemu spôsobu písania znamenali zjednodušenie. Číňania robili astronomické pozorovania a vyhodnocovali ich. Okolo roku 2700 p.n.l. zaznamenali zatmenie Slnka. Na to boli potrebné exaktné výpočty rovnako ako na mytológiou ovplyvnené magické štvorce, ktoré v každom rade, stĺpci a uhlopriečke dávali vždy rovnaký súčet, pričom si hra s číslami a dôkaz kultu čísel vyžadovali počtársku šikovnosť . Najstarší čínsky magický štvorec transkribovaný arabskými číslicami vyzeral takto:

4 9 2
3 5 7
8 1 6

Súčet čísel v každom riadku, stĺpci alebo uhlopriečke je vždy 15. Staročínske znaky zo 14. až 3. storočia p.n.l. umožňovali znázorniť aj väčšie čísla. Pre 20, 30, 40 jestvovali zvláštne znaky, dvoj. troj a štvorzúbok, no bolo ich možné zobraziť podobne ako 50, 60, a 70 a tak ďalej príslušnou jednotkou s čiarou nad ňou (symbol pre 10). Dôvtipné kombinácie boli základom tohto číselného systému - z neho neskôr podaktoré prvky prešli do zaznamenávania paličkovými číslicami. Spôsob písania hieroglyfmi bol komplikovanejší, pretože individuálne znaky boli pre čísla 1 až 10 a pre mocniny od 101 až 104. Preto pri väčších číslach jednotlivé číslice sa museli doplniť primeraným znakom pre mocninu desiatky, lebo iba to charakterizovalo a tým odstupňovalo rádovú hodnotu. Dôsledkom toho boli v písme aj v jazyku prahy od jednej mocniny desiatky k druhej. Tak sa napríklad číslo 9637 prenesené do nám zvyčajného obrazu sa znázorňovalo takto:

9.1000  6.100  3.10  7.1

(9 tisícok 6 stoviek 3 desiatky 7 jednotiek)

GRÉCI vytvárali svoje číselné znaky pomocou písmen, nepoužívali však túto metódu ako prví. A becedné písmo zaviedli FENIČANIA žijúci na stredovekom pobreží, a to okolo 14 storočia p.n.l. . Feničania, ktorých pokladali dlhý čas za najlepších znalcov moreplavectva a astronómie, urobili ešte jeden dôležitý objav, ktorého dedičstvo trvá dodnes. Prví totiž začali písať písmená. Feničania sa dovtípili, že pomocou symbolov netreba zapisovať celé slová, ale jednotlivé hlásky, z ktorých sa tieto slová skladajú. Malým počtom symbolov mohli tak zapísať ľubovoľné slovo. A tieti symboly sú vlastne písmená. Podľa fenického vzoru začali používať písmenkové abecedy nielen Gréci, ale aj neskoršie naši predkovia - Slovania. Staroslovanské písmo, z ktorého sa vyvinula ruská azbuka, sa priamo odvodilo z gréckej alfabety, podobne ako latinka, ktorou píšeme my. Gréckym dedičstvom je aj jeden dôležitý matematický vynález. Týmto vynálezom je počítacia tabuľka doska - abakus. Veľmi blízkym príbuzným gréckeho abakusu sú naše detské počítadlá. V gréckom počítaní, pri označovaní čísel písmenami nemožno sčitovať v stĺpcoch. Preto si ľudia na uĺahčenie aritmetických operácií zostrojili počítaciu dosku, abakus, no zdá sa, že počítaciu dosku používali už pred Grékmi v Mezopotámii.

U RIMANOV (Dobrodružství čísel), na rozdiel od Grékov, bolo v popredí praktické používanie matematiky. Veľké výdobytky gréckych mysliteľov napriek svojej sile upadli do zabudnutia. Nádej na rozširovanie, zdokonaľovanie a používanie mali iba počtárske metódy, ktoré slúžili bezprostredne na rozširovanie, udržanie a napokon na obranu rímskeho impéria. Napriek týmto tendenciám zo starých číselných znakov najdôvernejšie poznáme rímske. Arabské číslice ich celkom nevytlačili, v malom rozsahu sa ešte používajú. Nám známe symboly mali však svojich predchodcov, ktoré sa ponášali na znaky iných národov. Na svoj pôvod poukazujú najnižšie znaky - jednoduché kolmé čiary a princíp vytvárania skupín : I, II, III . . . .

Čiarky môžu vzniknúť znázornením vrúbku na palici na rátanie alebo jedného prsta. Súvislosť s počítaním na prstoch naznačujú aj iné znaky. "V" znamená v zjednodušenej forme jednu ruku s vychýleným palcom (5 prstov), X = 10 by boli podľa tejto interpretácie dve ruky. Väčšie čísla sa kombinovali z čiarok a oblúkov. Tieto znaky neskôr - proces trval až do stredoveku - nahradili číslice, ktoré pravdepodobne pochádzajú z písmen. Aspoň sa predpokladá, že znak C pochádza z číslovky centum = sto a znak M z číslovky mille = tisíc.

Podaktoré znaky, ako I, V, a X sa menili nepatrne. Pre väčšie čísla sa zaviedlo nové zobrazenie a tak jestvovali - a ešte jestvujú - tieto symboly : I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Okrem toho sa na označovanie tisícok používalo jedno M. Stávalo sa, že sa zápis veľkých čísel bol neprehľadný; v takom prípade sa nad číslicu, napísala vodorovná čiarka, ktorá znamenala tisícnásobok hodnoty pôvodnej číslice (M s pruhom sa rovnalo 1000 krát 1000; hovoríme tomu multiplikatívny princíp).

Relatívne jednoduché bolo to, že iba siedmimi znakmi bolo možné vyjadriť všetky čísla až do milióna. Ďalšou prednosťoi bola určitá pružnosť. Rimanom popri radení za seba postup od číslic najvyššieho rádu k najnižšiemu rádu slúžil aj subtraktívny spôsob písania, ktorý na základe presne určených pravidiel umožňoval umiestniť menšie číslo pred nasledujúce väčšie, pričom menšie sa potom odratúvalo od väčšieho. Tým sa skracovala inak nevyhnutná dĺžka :

IC = 99, XLI = 41, XCVIII = 98

Ako ukazujú príklady väčšie číslo mohlo mať menej znakov ako menšie. Tento systém bol komplikovaný pri písomnom počítaní. Dlhé čísla a chýbajúci rád spôsobovali značné ťažkosti. Rimania si pomohli svojským spôsobom. Znakmi zapisovali iba čísla. Pri samotnom počítaní si pomáhali prirodzenými, alebo špeciálne vyhotovenými pomôckami - prstami a počítadlom - abakusom.

Ako sme už spomínali SLOVANSKÁ abeceda (NA začiatku bol abakus) mala svoj pôvod v Grécku. Aby bolo možné rozlišovať písmená a čísla, čísla charakterizovalo tzv. titlo. Pre 1000 Slovania tiež zaviedli zvláštny znak. Slovanské zobrazovanie čísel bolo vhodné aj na zaznamenávanie veľkých čísel, pričom sa prejavila ako výhoda, že znaky mali krátky písmový obraz. Podľa multiplikatívnej metódy dva znaky pre tisícku znamenali milión. Lenže pojem “veľké čísla” bol relatívny a časovo podmienený, menil sa vývojom. Starí Slovania pre 10 000 používali kedysi slovo trma (trma - nesmierne množstvo, nekonečne veľký počet). Neskôr, v Systéme veľkoslovanského čísla 17. storočia, to isté slovo znamenalo milión. Po ňom nasledoval ešte rad iných čísloviek až po koloda (klada, blok), čo zodpovedalo číslu 109. Ale v tejto epoche už slovanské abecedné čísla prakticky vystriedali arabské číslice.

V INDII zachované nálezy sú relatívne mladé, v podstate siahajú iba do prvého tisícročia p.n.l. . Staršími nepriamymi svedkami odzrkadľujúcimi vývoj a úroveň matematiky sú zápisy a mince. Tu spočívajú korene závažného kultúrneho počinu, akým bolo definitívne vytvorenie desiatkovej číselnej sústavy a vedomé a plánovité zavedenie nuly. V určitých epochách Indovia rovnako ako iné kmene a národy vyjadrovali číslovky istým počtom pojmov. Tak jednotku pomenovali “zem” alebo “mesiac”, dvojku “oko”, trojku “vlastnosť” (v Indii sa totiž rozlišovali tri charakterové vlastnosti), 32 “zuby”. Vychádzali z prirodzeného základu. Čísla sa interpretovali kompletnými slovami alebo už hláskami. Ale narastajúcim matematických požiadavkám zodpovedalo iba znázorňovanie čísiel symbolmi. Medzi rozličnými systémami najväčší význam mali číslicové písma karošti a brahmi (tabuľka str. 45 - Heinz Glade - Karl Mantenffel, Na začiatku bol Abakus), pokým ich neprekonalo písmo rádových hodnôt s nulou. Pri znakoch karošti išlo o bezrádovú desiatkovú sústavu, v ktorej štvorka a dvadsiatka mali zvláštne postavenie. Symboly jestvovali pre 1, 2, 3, 4, 10, 20 a 100. Z nich sa čiastočne aditívne, čiastočne multiplikatívne zostavovali všetky ostatné vtedy známe čísla. Viac a dlhšie rozšírené boli však číslice brahmi (2. alebo 1 storočie p.n.l.). V tomto systéme, ktorý sa považuje za najstaršieho predchodcu našich dnešných číslic, mali všetky jednotky, všetky desiatky ako aj stovky a tisícky vlastné znaky. Čísla bez vlastného symbolu sa písali čiarkami, kombinovaním znakov alebo aditívnym znázorňovaním. Keďže prevých deväť znakov (1 až 9) malo zvláštne postavenie, číslice brahmi pomohli raziť cestu desiatkovej sústave rádových hodnôt zdokonalenej nulou. Indovia už storočia pred n.l. poznali názvy pre čísla rádovej hodnoty do 1053. V sanskritskej literatúre neboli zriedkavé takéto formulácie: “štyridsať sto tisíc myriád desať miliónov úsekov vzniku sveta”. Pre počítanie nemali takéto nepochopiteľné veličiny nijakú hodnotu, vyjadrovali iba sklon ku kultovému zbožňovaniu a podporovali povedomé pýchy a vznešenosti. O vzniku desiatkovej sústavy rádových hodnôt s nulou sa dá s istotou povedať len to, že bola dotvorená v 7. storočí. O tom svedčia počtárske pravidlá indického astronóma a matematika Brahma guptu, narod. v r. 598. V nich sú zaznamenané predpisy, ako počítať s nulou, príklady prizerajú na osvedčené praktické skúsenosti. Jedna jeho úloha mala napríklad nasledovnú formu: “Z istého množstva čistých lotosových kvetov obetovali Šivovi tretinu, Višnovi pätinu, Slnku šestinu, štvrtinu dostal Bhavani a zvyšných šesť kvetov dali ctihodnému učiteľovi.” (Riešenie: 120 lotosových kvetov, Šiva dostal 40, Višna 24, Slnko 20, Bhavani 30, učiteľ 6 lotosových kvetov). Číslice prevzaté od Arabov sa v priebehu storočí zmenili a trvalo dlho, pokiaľ získali dnešnú tvár. Číslice, ako ich používame dnes, sa síce nazývajú arabskými, no od arabských sa značne líšia. Je preto správnejšie hovoriť o arabskom spôsobe písania číslic. Vieme už, že Arabi tento spôsob prevzali od Indov a priniesli do Európy. Ide teda o Indo-arabský systém. Čítanie čísiel v tomto syséme je na základe logického systému pomenovania. Napr. 356 - 3 stovky, 5-desiat, 6-šesť - prísne logický.

 

Zoznam použitej literatúry

Hana a Miroslav Honzíkovi: Dobrodružství čísel, Svoboda 1970

Heinz Glade - Karl Manteuffel: Na začiatku bol abakus, Smena 1981

Prof. RNDr Štefan Znám a kolektív: Pohľad do dejín matematiky, Alfa 1986

Ivan Depman: Svet čísel, SPN 1973

Ondrej Šedivý - Karol Križalkovič: Didaktika matematiky, SPN