4. Cardanove formule pre riešenie rovnice tretieho stupňa

Obsah :
    Úvod
    4.1 Scipione del Ferro (1465 - 1526)
    4.2 Mikuláš Kopernik (1473 - 1543)
    4.3 Niccolo Fontana - Tartaglia (1500 - 1557)
    4.4 Girolamo Cardano (1501 - 1576)
    4.5 Ludovico Ferrari (1522 - 1565)
    Literatúra

4.3 Niccolo Fontana - Tartaglia (1500 - 1557)

Otca stratil keď mal šesť rokov. Roku 1511 keď francúzski vojaci plienili jeho rodnú Bresciu, spolu s matkou hľadali úkryt v kostole. Katolícki vojaci sa však nezastavili ani pred plienením katolíckeho kostola a vraždili ženy aj deti, ktoré v kostole hľadali útočisko. Malý Niccolo utŕžil viaceré sečné rany mečom, z ktorých jedna mu rozťala ústa a podnebie ústnej dutiny. Masaker síce prežil, ale so zle zrastenými ústami vedel len ťažko hovoriť a koktal. Vtedy sa naň prilepila prezývka Tartaglia (tal. koktavý), ktorá ho sprevádzala po celý život a v knihách z dejín matematiky sa väčšinou uvádza pod touto prezývkou. Ako štrnásťročnému sa mu dostalo 15 dní školského vzdelania. Na takéto obdobie dokázala jeho matka zaplatiť školné. V abecede sa dostali po písmeno k. Zvyšok sa naučil sám. Bol usilovný, naučil sa po latinsky a ako 23 ročný si vo Verone zarábal vyučovaním matematiky. Riešil matematické problémy, s ktorými sa na neho obracali obchodníci, stavitelia, delostrelci a pod.

Roku 1530 tohto počtára samouka požiadal da Coi, aby preňho vyriešil rovnice

Fontana odmietol, ale vyhlásil, že riešenie rovníc typu „cubus plus štvorec sa rovná číslo“ a „cubus plus štvorec plus vec sa rovná číslo“ nepovažuje za nemožné. O tom sa dopočul Antonio Fioré a roku 1535 vyzval Fontanu na matematický súboj. Podstata súboja spočívala v tom, že obaja matematici si navzájom odovzdali 30 úloh, ktoré musel protivník vyriešiť do 30 dní. Vyhral ten, kto vyriešil viacej úloh. Porazený musel potom pohostiť víťaza a jeho 29 priateľov. Fontana si bol istý, že Fioré mu dá väčšinu príkladov na kubické rovnice. Preto pozbieral všetky sily a v noci z 12 na 13 februára 1535 našiel postup na riešenie rovníc typu x³ + bx = c a x³ = bx + c. V deň súťaže 22 februára samouk Fontana vyriešil všetky úlohy profesora Fioreho, kým ten si nevedel rady ani s jednou jeho úlohou.

Od de Coita sa o Fontanovom úspechu dozvedel milánsky lekár a matematik Girolamo Cardano, ktorý sa chcel dozvedieť jeho „veľké umenie“. Fontana však odmietol tajomstvo prezradiť. Keď mu ale o štyri roky neskôr, roku 1539 Cardano sľúbil, že mu nájde mecenáša pre jeho delostrelecké vynálezy, tak mu Fontana pod prísahou mlčanlivosti prezradil svoje „ars magna“. Cardano do roku 1542 svoju prísahu neporušil, ale vtedy sa mu dostali do rúk rukopisy z pozostalosti Scipione del Ferra, v ktorých objavil Fontanove formule. Tým sa cítil byť zbavený prísahy a roku 1545 vo svojej knihe Artis Magnae sive de Regulis Algebracis (Veľké umenie, čiže o zákonoch algebry) tieto formule zverejnil. Fontana sa cítil byť podvedený a za porušenie prísahy sa chcel Cardanovi pomstiť. Roku 1546 vydáva Fontana knihu Otázky a rôzne vynálezy, v ktorej opísal, ako podlo ho Cardano podviedol a ako od neho vylákal jeho tajomstvo.

Cardana sa proti Fontanovmu osočovaniu zastal jeho žiak Ludovico Ferrari a vyzval Fontanu na verejnú dišputáciu a súťaž. Stretli sa roku 1548 v Miláne. Fontana si hneď v prvý deň uvedomil, že proti o 22 rokov mladšiemu Ferrarimu, obklopenému priateľmi a žiakmi nemá šancu. Sotva ho pustili k slovu, a keď aj, tak svojím koktaním sa len zosmiešnil. Preto s horkosťou v duši bez slova opustil bojisko, čo samozrejme znamenalo priznanie porážky. Vďaka svojmu víťazstvu Ferrari dostal množstvo ponúk. Mal verejné prednášky v Ríme a Benátkach a nakoniec prijal funkciu riaditeľa daňového úradu v Miláne. O sedem rokov neskôr, keď mu vred zabránil v cestovaní, ktoré bolo s touto funkciou spojené, prijal miesto profesora matematiky na Bolonskej univerzite. Naproti tomu Fontanovi priniesla porážka trpký osud. Všetky dvere sa pred ním zatvorili. Preto odchádza z Brescie do Benátok, kde pokračuje vo svojom boji o prvenstvo. Napísal ešte dve knihy Všeobecné pojednanie o číslach a pomeroch a Všeobecné pravidlá na vyzdvihnutie potopenej lode. Roku 1557 Niccolo Fontana, tento geniálny autodidakta umiera v chudobe a zabudnutí.

V 16. storočí sa rovnice písali len s kladnými koeficientami, preto rovnice x³ + bx = c, x³ = bx + c a x³ + c = bx predstavovali rôzne problémy, ktoré sa riešili osobitne. Fontanov postup na ich riešenie sa síce nezachoval, ale viacerí historici sa pokúsili o jeho rekonštrukciu. Ukážeme si postup ako asi mohol riešiť rovnicu typu x³ + bx = c. Pritom samozrejme koeficienty boli konkrétne kladné čísla. My si ich zapíšeme pomocou premenných preto, aby lepšie vynikla štruktúra postupu.

Po viacerých pokusoch asi dospel k hypotéze, že riešenie bude tvaru

x = .

Keď tento výraz umocníme na tretiu, dostaneme

Teraz si stačí všimnúť, že dva prostredné členy možno prepísať do tvaru

- = -,

a teda pre x³ dostávame vyjadrenie

x3 = u - - v ,

x3 + =u - v .

Keď tento vzťah porovnáme s pôvodnou rovnicou, dostávame sústavu

b =

c = u - v.

(1)

Z druhej rovnice si môžeme vyjadriť v = u - c, a dosadiť do prvej. Takto dostaneme

čo je kvadratická rovnica v neznámej u :

u2 - uc -

= 0.

Jej koreň dostaneme podľa známeho vzťahu v tvare

u =

.

Neznámu v dostaneme v tvare

v = u - c = -

.

Riešenie rovnice x = je potom tvaru

x =

.

Vidíme, že celý postup je založený na tom, že „uhádneme“ tvar riešenia x = , a hodnoty u a v určíme dodatočne. Tu vidíme výhodu jazyka algebry, ktorý umožňuje toto typovanie ako celkového tvaru, ako aj manipulácie, v priebehu ktorých dostaneme nakoniec výsledok. Jazyk geometrie niečo takéhoto neumožňuje. On má k dispozícii iba úsečku neurčitej dĺžky, neumožňuje však zobrať „úsečku istého tvaru“. Naproti tomu jazyk algebry umožňuje typnúť, že výsledok bude mať určitý tvar (napríklad, že bude rozdielom dvoch tretích mocnín), a keďže algebra je „regula della cosa“, môžeme s týmto vyjadrením ďalej pracovať, až kým sa nám nepodarí určiť jeho konkrétnu hodnotu.

Podobným spôsobom mohol Fontana vyriešiť aj rovnicu typu x³ = bx + c, ale v tomto prípade treba hľadať riešenie v tvare x = . Výsledný vzťah vyjde v tvare

x =

.

Pri porovnaní s predošlým výsledkom sú rozdiely nepatrné, zmenili sa iba niektoré znamienka. Ako sa však neskôr ukázalo, tieto zmeny mali ďalekosiahle dôsledky.